top of page
Aplicacions de la funció de Fermi
Com ja s'ha observat, per tal de quantificar la conductivitat tot analitzant-la a nivell elemental, hem de poder trobar el nombre d'electrons que hi participen, així com els forats.
No obstant, aquest procès no es pot dur a terme únicament amb la funció de Fermi. Si localitzam la funció de Fermi a la teoria de bandes, podem observar el següent gràfic:
No es fins que la funció creua la bretxa energètica que es comença a donar la promoció electrònica, depenent de la temperatura.
Per tal d'explicar aquest fenòmen s'utilitza la funció referent a la densitat d'estats electrònics:
Sense entrar en més detall aquesta funció de valors exhorbitants permetrà saber si un determinat estat energètic pot ser ocupat o no, depenent de la probabilitat.
És per aquest motiu que la funció consta d'una ordenada a l'origen Eb, de manera que serà a partir d'aquest punt on es trobararan els possibles estats electrònics.
Cal redefinir, però, aquest terme, perquè no consisteix senzillament al valor de l'energia de bretxa, sinó que la situa respecte la funció de Fermi, de manera que la densitat d'estats electrònics es podria expressar:
Finalment, si multipliquem ambdues funcions trobarem el gràfic pertanyent a la població electrònica, de manera que si es procedeix a integrar-lo, trobem el veritable nombre:
Recuperant l'expressió aproximada per al nombre d'electrons:
Podem trobar el seus orígens aquí, però sense necessitat d'entrar en detall podem definir el seu terme A:
En el següent element de geogebra es mostren els elements esmentats fins el moment d'una manera interactiva:
D’aquesta manera, podem explicar com, si el material rep aquesta excitació, els electrons poden ser promoguts permanentment fins que el flux d’energia cessi. No obstant, el fet que un electró sigui elevat energèticament parlant crea, tot plegat, un efecte contrari a la banda de valència, hi crea un forat, un nivell energètic buit que, donat que l’entorn és negatiu, se li atribueix un valor positiu.
Per tal d’explicar el concepte plenament, podem utilitzar-ne una clara analogia que, no només definirà el concepte, sinó introduirà les seves qualitats.
Primer de tot, imaginem un auditori, completament a vessar fins la meitat. La meitat inferior, plena, i la superior, buida, havent-se omplert primer des de les localitats més pròximes a l’espectacle fins les darreres. Prenguem, llavors, el cas que un dels espectadors de l’última fila se’n vol anar, perquè la seva posició a la sala no és bona, no se n’assabenta de res, i té ganes d’anar al bany; però donat que la fila està tan plena no pot abandonar la seva posició per la fila. D’aquesta manera, decideix passar per damunt del seu seient, cap a la fila buida, i marxar. Tot deixant el seu seient lliure.
Fins aquest punt, podem substituir els diferents termes de l’analogia i extreure’n ja algunes conclusions. En primer lloc, la meitat inferior de l’auditori representaria la banda de valència, plena, essent els nivells d’energia inferiors, i per tant els que s’omplirien primer segons el principi d’Aufbau; mentre que la part superior i buida la banda de conductivitat. Tots els espectadors, per la seva banda, representarien els electrons, cadascun situat al seu orbital corresponent. La persona que haurà abandonat l’estància representaria un electró lliure, el qual produeix el corrent, les seves ganes d’anar al bany i abandonar la sala, el seu enuig per no veure ni sentir gaire donada la seva posició, representaria d’una manera molt metafòrica l’energia que rebria, l’excitaria i el permetria ser promogut.
I en últim lloc, el seient que roman buit és el forat.
Aquest forat, a continuació, podria ser reomplert per una persona del costat que s’hi assegués deixant buit el seu propi seient, i desplaçant el forat. Si aquest procés es donés a terme indefinidament, trobaríem com el forat es desplaçaria tot seguint el sentit contrari dels electrons.
Cal remarcar, abans de continuar amb l’explicació dels forats, que pel mateix principi d’incertesa de Heisenberg, tractat en la concepció quàntica a l’annex I, aquests forats mai serien un seient buit, un lloc inocupat, sinó que englobarien varis espais amb més o menys probabilitat, no deixaria de ser un volum probable.
Una altra manera de conceptualitzar els forats i ficar-los en relació directa amb els conceptes anteriorment descrits és aplicar-hi de nou l’analogia del “mar de Fermi”. En aquest cas, davant d’un cert tipus d’excitació aquest es veuria alterat del seu estat de repòs, tot produint-s’hi ones. Aquestes, com ja s’ha explicat, podrien assolir la banda de conductivitat si tenen suficient força com per elevar-s’hi.
No obstant, i com ja s’havia concretat, el “mar de Fermi” forma un conjunt fixe amb una quantitat d’aigua invariable. És per aquest mateix motiu que, si es produeixen onades que elevin els electrons, també es produiran valls entre aquestes, de manera que l’absència de probabilitat en nivells inferiors a la superfície del mateix, la qual havíem definit com a energia de Fermi, són la representació dels forats.
Cal remarcar, no obstant, que en aquesta analogia particular es pot extreure un coneixement erroni si no s’és explicada adequadament. El mar no només pot representar els electrons i com aquests omplen els diferents estats energètics, sinó que també podríem estipular, d’alguna manera, que representin la funció de Fermi i la probabilitat resultant. És per això, i encara que pugui haver probabilitat a la bretxa energètica, aquesta no serà poblada per la inexistència d’estats en ella.
Per a intentar arreglar l’error, podríem situa alguna mena de recipient sobre la superfície del mar a una distància de l’energia de bretxa (estem parlant de distàncies energètiques i no pas mètriques). D’aquesta manera, si la superfície de l’aigua pogués arribar-hi, podria prendre una posició en aquest recipient, la banda de conductivitat i quedar-s’hi, però, a canvi d’una renda, un cost energètic constant.
L’absència de l’aigua promoguda, ara sí, constituiria els forats descrits.
Un altre concepte a introduir és la massa efectiva, la qual és la massa que sembla que té la partícula durant les seves interaccions amb altres. Aquest concepte és emprat per a simplificar els càlculs i les estructures de bandes, tot modelant-ne les partícules. D’exemples de simplificacions se’n veuran més endavant amb l’anàlisi dels forats.
Aquesta massa varia segons l’estructura i el material en qüestió del que estiguem parlant. Tanmateix, la seva expressió és:
Continuant amb l’anàlisi particular dels forats, una propietat molt interessant de la massa efectiva és que no està delimitada a valors positius, sinó que contempla la possibilitat que existeixi masses negatives. Un exemple de massa efectiva negativa és el cas d’alguns electrons que, malgrat que tenen càrregues negatives, el seu comportament és com si fossin càrregues positives, de manera que se’ls hi dona aquesta massa efectiva negativa. Explicat d’una altra manera, actuen d’una manera contrària a la que haurien davant les forces que reben.
Una banda perfectament plena té un corrent igual a 0. D’aquesta sentència en podem derivar el pensament que, els electrons dels estats orbitals pròxims al màxim tenen una massa efectiva negativa mentre que els electrons dels nivells més baixos tenen una massa efectiva positiva, de manera que el moviment total de l’estructura, del conjunt, és 0. Però en el moment que un electró és promogut i abandona la banda completa, apareix un forat.
Al tractar-se d’un entorn negatiu, el forat en seria un element neutre que, vist d’un altre punt de vista, seria carregat positivament, d’aquesta manera que l’entenguem com una absència de negatiu o positiu directament.
Una altra manera d’arribar a la mateixa conclusió és prenent en compte l’avantatge que suposa. Si enlloc de calcular el corrent en base a tots els electrons, podem començar establint que el total és 0 i anar sostraient els electrons o afegint forats i, com que treure negatiu o sumar positiu és el mateix, podem considerar els forats positius.
Seguidament trobem un exemple de com l’analogia de l’auditori ens pot confondre, i és amb el moviment dels forats. En primer lloc, remarquem que, els electrons al capdamunt de la banda de valència tenen massa efectiva negativa, de manera que es mouran a la inversa de com ho fan els electrons a baix de la banda de conductivitat. Tenint en compte això, podem intentar trobar el moviment del forat. Si apliquem una força magnètica o elèctrica observem com el moviment dels electrons amb massa efectiva positiva i negativa és contrari, tanmateix, i donat que el forat té massa efectiva positiva i càrrega positiva, aquest es mourà en la mateixa direcció que els electrons amb massa efectiva negativa, contràriament als electrons amb positiva.
Tot plegat, fruit d’una mateixa excitació tèrmica, acabem amb dos càrregues en moviment, una positiva i una negativa, de manera que assolim el doble de corrent.
bottom of page